Ragionamento per equivalenza

A volte STACK ti consente di lavorare riga per riga per risolvere un'equazione o una disequazione. Devi lavorare in modo tale che le righe adiacenti siano equivalenti tra loro.

Inizia digitando l'equazione nella domanda. Quindi lavora riga per riga nell'area di testo finché non hai risolto il problema. Normalmente sarà disponibile un feedback mentre digiti.

Ad esempio, per risolvere l'equazione quadratica \( x^2-4x-5=0\) potresti ragionare nel modo seguente.

x^2-4x-5=0 (x+1)(x-5)=0 x=-1 o x=5

Puoi copiare e incollare da una riga all'altra e modificare la riga se questo ti aiuta.

Questo potrebbe essere visualizzato come segue

\[ \begin{array}{ccc} \ & x^2-4 x-5=0 & \text{ } \\ \color{green}{\Leftrightarrow} & \left(x+1\right) \left(x-5\right)=0 & \text{ } \\ \color{green}{\Leftrightarrow} & x=-1\lor x=5 & \text{ } \end{array} \]

Se questo feedback sia disponibile o meno immediatamente dipende dalla tua domanda. Questo feedback indica che STACK considera che ogni riga è equivalente alla riga precedente. L'ultima riga di lavoro è la tua risposta finale, sebbene l'intero argomento venga preso in considerazione.

1. Dovresti usare la sintassi normale per input risposta in STACK, incluse le parentesi e i simboli * per la moltiplicazione.
2. Insiemi, elenchi e matrici non sono consentiti quando si ragiona per equivalenza. 3. Non inserire la risposta come un elenco o un insieme di numeri, usa una notazione logica come x=-1 o x=5.

Puoi anche lavorare riga per riga con espressioni, non equazioni. Ad esempio, per espandere \( (x-1)(x+4) \) potresti ragionare nel modo seguente.

(x-1)(x+4) =x^2-x+4x-4 =x^2+3*x-4

Questo potrebbe essere visualizzato come segue

\[\begin{array}{ll}\ &\left(x-1\right) \left(x+4\right) \cr \color{green}{\checkmark}&=x^2-x+4 x-4 \cr \color{green}{\checkmark}&=x^2+3 x-4\end{array}\]

Qui, ogni nuova riga deve iniziare con un segno di uguale =.

Cos'è "l'equivalenza"?

Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni con le stesse molteplicità.

Due espressioni sono equivalenti se hanno lo stesso valore quando le variabili vengono valutate.

Alcuni consigli generali per risolvere le equazioni quando si ragiona per equivalenza sono:

1. Fattorizza le espressioni, quindi usa \( AB=0 \color{green}{\Leftrightarrow} A=0 \lor B=0\).
2. Usa la differenza di due quadrati, \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
3. Completa il quadrato: ad esempio \( (x-a)^2+b=0\).

Evita di estrarre le radici.

Non estrarre la radice quadrata di entrambi i lati di un'equazione. \[ \text{ Se } a=b \text{ allora } a^2=b^2.\] Tuttavia, \[ \text{ se } a^2=b^2 \text{ allora } a=b \text{ o } a=-b.\] Quindi, se prendi la radice quadrata di entrambi i lati di un'equazione per trasformare \(a^2=b^2\) in \(a=b\) potresti perdere una radice!

Per evitare questo problema usa la differenza di due quadrati nel modo seguente.

a^2=b^2 a^2-b^2=0 (a-b)*(a+b)=0 a=b o a=-b

\[ \begin{array}{ccc} \ & a^2=b^2 & \text{ } \\ \color{green}{\Leftrightarrow} & a^2-b^2=0 & \text{ } \\ \color{green}{\Leftrightarrow} & \left(a-b\right) \left(a+b\right)=0 & \text{ } \\ \color{green}{\Leftrightarrow} & a=b\lor a=-b & \text{ } \end{array} \]

Casi limite

A volte avrai un'equazione senza soluzioni. Puoi esprimere il fatto che non ci sono soluzioni nei seguenti modi

1. false. Questo perché a volte si finisce con una contraddizione come \(1=2\), poiché questa equazione è falsa, puoi digitarla come ultima riga del tuo argomento.
2. none. La parola chiave speciale none è usata per indicare che nessun valore delle variabili soddisfa l'equazione.
3. {}. L'insieme vuoto indica che non ci sono soluzioni.

A volte avrai un'equazione in cui ogni numero è una soluzione, come \(x=x\). Puoi esprimere il fatto che ogni numero è una soluzione nei seguenti modi

1. true. Questo perché a volte si finisce con un'equazione come \(x=x\), e poiché questa equazione è vera, puoi digitarla come ultima riga del tuo argomento.
2. all. La parola chiave speciale all è usata per indicare che qualsiasi valore delle variabili soddisfa l'equazione.